25 下上视角¶
自下从对象和事件出发，自上从抽象材料出发；二者都必须补齐下上结构。自上更聚焦但更依赖前置知识，自下更有对象感但更容易以偏概全。
两个困境¶
在学习中，人们常常会遇到类似下面的困境：
看 “如何写小说” 之类的教程时，里面的案例分析全都看懂了，可一旦下笔，还是写不出来小说。
学习数学中的矩阵、向量等概念时，都能理解，可从来没有在生活中应用过，感觉这些知识没用。
引入下上视角后，这些困境就能被更清晰地理解和解读。
下上视角
此前讲过，任何知识都由下层和上层两部分构成。
下层：包含着实践对象。
上层：包含着抽象规律。
应用知识时, 我们利用上层的规律来指导下层的实践, 只有将下上两层连接起来注, 形成一个整体结构, 才算真正学会了一个知识。那么, 我们可以基于 “连接的方向”, 将学习 (渐构) 方式划分为两种:
☐ 一种是从下层出发、向上层连接的渐构，被称为“自下学习”或“自下渐构”。
☐ 一种是从上层出发、向下层连接的渐构，被称为“自上学习”或“自上渐构”。
枯草自下¶
例如，在先前的枯草故事中，你经历的“3根枯草拧在一起，拽起来费力”“5根拧在一起，更难拽断”等事件是下层的具体现象。随后你抽象出干植物、根数、拽断的费劲程度，并由这些概念渐构成“拧在一起的干植物根数越多，拽断越费劲”，便是上层抽象规律。这种从下层具体现象出发，向上层抽象规律连接的渐构，便是自下学习。
枯草自上¶
而在故事中，你的小伙伴先从“拧在一起的干植物根数越多，拽断越费劲”，也就是你对上层抽象规律的语言表述出发，向下层的具体现象进行连接，成功渐构出知识，还应用知识做了一个草绳秋千。这种学习方式便是自上学习。
有别直接¶
注意，要避免把自下学习误解成基于直接经验的学习。自下学习可以基于亲身经历的经验（直接经验），也可以基于他人告知的经验（间接经验）。
仅讲事件¶
假如在枯草故事中，你不告诉小伙伴你总结的抽象规律，只告诉他“3根枯草拧在一起，拽起来费力”“5根拧在一起，更难拽断”等你经历的具体事件，让其自己向上抽象和归纳。那么，小伙伴的学习便会是自下学习，而且是基于间接经验的自下学习。
有别归纳¶
浆果曾在《断墨寻径》科普视频中,用“归纳学习”来命名自下学习,用“指令学习”来命名自上学习,但后来发现这两个名字起得不是很好。原因有两点:
- “归纳学习”是以学习方式（即归纳）来命名的，而“指令学习”则是以学习材料（即指令）来命名的，名称上不如“自下”和“自上”工整。
- 自下学习虽然包含对下层对象的归纳，但“归纳学习”这个名称容易让人误解成“仅用归纳思维来进行的学习”。可实际上，在自下学习的过程中，也可以运用其他知识的演绎和类推，并无思维方式上的限制，只不过这些方式最终都会服务于对目标知识的归纳。
数列自下¶
例如，一个学生在学习等差数列求和公式时，可以从下面的几个具体实例出发：
\(1 + 2 + 3 + \dots +100 = (1 + 100)\times 100 / 2 = 5050\)
\(2 + 4 + 6 + \dots +50 = (2 + 50)\times 25 / 2 = 650\)
\(5 + 10 + 15 + \dots +200 = (5 + 200)\times 40 / 2 = 4100\)
在此过程中，不仅会涉及对三个例子的归纳，而且涉及加法交换律的演绎，还可以涉及梯形面积公式的类推，最终从下层的具体实例连接上层的抽象规律，即“首项加末项乘以项数除以2”。
仅自下吗¶
接着，再来说说创验学习和这两类学习之间的关系。
第一个问题便是：是否只有自下学习才能创造新知识？
这个问题的答案并不是那么明确，取决于我们如何定义“新知识”。
奇偶之和¶
试着考虑下面的情况。
“任意一个偶数与任意一个奇数的和是奇数”。这是一个知识，而且这个知识的创造并不需要对具体实例的归纳，仅用既有知识就能推理得到：
- 写出偶数和奇数的表达式：偶数为 \(2k\) ，奇数为 \(2m + 1\) （ \(k\) 和 \(m\) 都为整数）。
- 相加并简化： \(2k+(2m+1)=2k+2m+1=2(k+m)+1\) 。
- 根据 \((k + m)\) 为整数，得到 \(2(k + m) + 1\) 为奇数。
创造该知识的过程中，运用了下面几个既有知识：
◎ 偶数的定义。
◎ 奇数的定义。
◎ 加法结合律： \(2k+(2m+1)=(2k+2m)+1\) 。
◎ 乘法对加法的分配律的逆操作： \(2k+2m=2(k+m)\) 。
◎ 整数加法的封闭性：整数 + 整数 = 整数。
自上创验¶
可见，我们确实能仅通过运用若干个既有知识推出另一个知识。那么，“是否只有自下学习才能创造新知识”的答案，就取决于我们如何定义“新知识”了。
◎ 观点 A：这种情况得出了新的概念间关系，因此属于“新知识”的创造。
◎ 观点 B：这种情况只是运用逻辑，将既有知识中原本就蕴含的结论显性化，并没有扩展既有知识的边界，因此不属于“新知识”的创造（这也是为什么有些逻辑学教材说“逻辑不创造新知识”）。
可以发现，这两种观点对“新知识”采用了不同的定义。此前讲过，定义问题没有对错之分，两种观点都有道理。
本书认可“演绎是将既有知识中本就蕴含的结论显性化”这一观点，但对新知识采用观点A中的定义，因为这样更便于描述学习现象。如果采用观点B中的定义，只有当学习者掌握了既有知识所蕴含的全部结论时，才算“真正学会了”。这种定义难以落实，不利于评估学习成果。
更重要的是：本书关注的是人的学习，而人是有局限性的，没有“上帝视角”。人脑是依靠概念间关系来认识世界的，当概念间关系发生变化时，就会被视为不同的事物。
因此，本书的结论是“自上学习可以创造新知识”注。但注意，这是采用了上述定义后的结论。当听到有人说“逻辑不创造新知识”时，切莫单纯地认为对方错了。因为现实活动不是学校考试，没有统一的定义，不同人所说的“新知识”一词，未必指代同一个概念。
也有下层¶
可能有人觉得“自上学习所学的知识，仅有上层，没有下层”。
这是一个常见的误解。实际上，自上学习所学的知识也有下层，没有下层意味着没学会。
例如，龙是前人虚构出来的概念，后人可以将龙作为认识对象，以自上学习的方式来学习。当一个人凭借“龙是具备蛇身、鹿角、鹰爪、鱼鳞的神兽”的抽象描述，成功学会龙的概念后，就能够在看到任何一个具体的龙（哪怕是未见过的）时，将其判别到龙的概念下，如图25-1所示。这便形成了下层。
图 25- 1
如果没有下层，就意味着无法判别一个具体现象是不是龙，当然也就等于没有学会龙这个概念。
其实，自上学习和自下学习一样，都需要渐构模型。自下学习是先从具体对象渐构判别模型，然后指导下层。自上学习是直接根据抽象描述渐构判别模型，指导下层。
很多人在学习数学概念时，其实就处于“仅有上层，没有下层”的“半会不会”状态，导致学习者见到具体问题时，也无法将其判别到对应的数学概念下，更别提应用数学公式解决问题了。
数学科学
额外提一下：
◎ 新的数学知识主要是通过自上学习来创造的。
◎ 新的科学知识主要是通过自下学习来创造的。
不少人在质疑某个知识是否可信时，习惯问一句：“怎么证明？”这种提问并不适用于所有知识。
对于自上学习所创造的知识，如数学定理，可以被证明（如勾股定理的证明）。
对于自下学习所创造的知识，如科学定律，无法被证明。人们接受一个科学模型，只是因为它尚未被证伪或其普遍性达到可接受的程度。
所以，对于数学知识，可问“如何证明”，而对于科学知识，该问“实验结果如何”或“如何验证”（这里的验证指的是怎么设计实验来验证，通常永远无法证明
其为真，只能在一定程度上证明）。
归演误区¶
还有一点值得注意: 不少人因为“归纳无法保证正确, 演绎只要前提对结论就对”, 便觉得 “归纳不如演绎可靠”。
这是一个常见的误解，不少网络科普文章也这样介绍归纳和演绎，形成了“推崇演绎、贬低归纳”的倾向。
其实，“归纳不必然正确，演绎前提对结论就对”这句话本身没错，但它没说清全貌，容易让人草率地得出“演绎比归纳更可靠”。
归纳和演绎分别对应着一个知识的建构阶段和使用阶段，若要比较二者，也要围绕同一个知识的归纳和演绎来比较。
归纳相当于造一个锤子的阶段，演绎相当于用这个锤子的阶段。我们不可能总结说“造锤子不保证成功，用锤子只要所造锤子够好就一定成功，所以造锤子不如用锤子可靠”。那为什么对归纳和演绎，人们把“造”和“用”分离和对立，还得出类似“造不如用”的结论呢？
原因在于：人们把不同知识的归纳和演绎混在一起比较，把本该比较的归纳忽略了，从而误以为演绎的正确性是由演绎本身提供的。但实际上，演绎只是知识的应用，本身不提供任何正误注，演绎所得结论是否正确，取决于所用知识（大前提）是否正确，而所用知识（大前提）追根溯源还是归纳而来的。
举个例子，得到“女人非永生”这个知识，可以来自两种方式：
归纳 A：由 “李清照非永生” “武则天非永生” 等个例归纳而来。这种方式不能保证结论正确。
演绎 B：由 “人非永生” 这个大前提演绎而来。这种方式，只要 “人非永生” 正确，结论就一定正确。
看上去似乎演绎 B 比归纳 A 更可靠，但这里其实涉及四个环节：
◎ 归纳 A: 对 “女人非永生” 的归纳。
演绎 A: 对 “女人非永生” 的演绎。
◎ 归纳 B: 对 “人非永生” 的归纳。
○ 演绎 B: 对 “人非永生” 的演绎。
演绎 B 的正确性取决于 “人非永生” 正确与否, 而 “人非永生” 又是归纳 B 得到的。我们需要把演绎 B 和归纳 B 进行比较, 才能意识到这一点。
然而, 如果把围绕不同知识的演绎 B 和归纳 A 进行比较, 就会忽略归纳 B 的存在,进而产生 “归纳不如演绎可靠” 的错觉。
所以，为了避免这种误解，建议大家以后不要单说“归纳”和“演绎”，而要把知识带上，说“对知识 A 的归纳”或“对知识 B 的演绎”。
公理定理
最后，借机讲讲公理和定理的区别。
你可能也好奇过，为什么都是数学知识，有的叫“定理”，有的却叫“公理”？
数学以演绎（证明）闻名，所谓“定理”就是依靠某个知识 A（大前提）演绎（证明）出来的知识。若按照“逻辑不创造新知识”的说法，这个定理是知识 A 中已蕴含的结论。
但知识 A 也需要证明，需要依赖其他知识，例如知识 B，知识 B 的证明又依赖知识 C……当我们不断溯源时，就会追溯到没有其他知识可以证明的知识。这种知识就是公理，即“不可被证明，但为了演绎，就需要将它认作真”。用于演绎的公理，其实就来源于对生活现象的归纳。
不过，也有不是归纳而来的公理。因为数学不是科学，不必非要反映现实，可以根据凭空构思的公理推演出一个另类的“数学宇宙”，而这种凭空构思的公理就不算归纳而来的。
三方面¶
接下来，我们从三个方面讨论自下学习和自上学习的优劣：
◎ 普遍性方面。
◎ 理解性方面。
◎ 脱节性方面。
注意，这里的“优劣”都是相对于彼此而言的。
普遍性上
此前讲过，学习的目的是塑造推测未见情况的能力。其手段是通过比较多个已见情况，挖掘共性（规律），希望这个共性同样被未见情况所具备。
可用的已见情况数量越少，我们就越容易挖掘出仅被已见情况所具备、不被未见情况所具备的共性（规律），模型的可泛化性就越不容易达标。且在自下学习中，可用的已见情况数量通常十分有限，不同组合和不同顺序都会影响所挖掘的共性。面对这种情况，反复试错和验证是必备环节。
所以，在普遍性方面，自下学习的特点就是容易以偏概全、需要反复试错验证。
自上学习由于利用他人总结好的规律表述进行建模，继承了他人的验证成果，所以不容易以偏概全、建模方向明确。
理解性上
既然如此，那是不是只需自上学习就行了呢？
答案是否定的。自上学习在普遍性上的优势，只有在准确理解他人的抽象表述时，才能发挥，如果没能理解，或者曲解，其优势便会降为零，甚至为负。
而自下学习，在基于直接经验时，并不需要理解他人语言；在基于间接经验时，虽然也要理解他人语言，但所需理解的并非抽象表述，而是具象叙述，难度更低。
缺乏对象
自上学习更难理解，一个原因在于：相较自下学习，存在需要后天训练、需要积累经验等前置条件。
还有一个原因：抽象表述容易让人们缺失（可供加工的）对象，导致大脑“无处发力”。
具象叙述是指用具体对象叙述一个事件，这些具体对象都是确定的常量，叙述了什么就是什么，大脑有可供处理的对象。
但抽象表述是指用抽象概念表达一种通用关系，所有抽象概念都相当于有多种可能状态的变量。尤其当表述中的概念就是要学的新概念时，学习者便无法确定这些概念代表哪些对象，导致大脑缺失可供加工处理的对象。
这也解释了为什么人们在面对抽象表述时，常有一种“每个字都认识，却不知在说什么”的无力感。
更糟的是：这种无力感，容易促使学习者只记忆语言表述，而不渐构知识本身。
竖式表述¶
例如，阅读下面这段关于乘法竖式计算的抽象描述：
一个数的第 \(i\) 位乘上另一个数的第 \(j\) 位，就应该加在积的第 \(i + j - 1\) 位上；若和超过10，则向前进1。
其中的一个数的第 \(i\) 位、另一个数的第 \(j\) 位、积的第 \(i + j - 1\) 位、和等概念都相当于有多种可能状态的变量。学习者常常难以确定这些概念代表哪些对象，脑中没有可供加工处理的对象。
概念图¶
之所以概念图可以帮助我们理解概念，一个原因就在于：概念图用一个个图形来代表概念及其关系，可让大脑暂时获得“对象感”，以便进行整体把握。
脱节性上¶
至于脱节性方面，两种学习方式都容易导致双层结构坍塌成单层。
自下学习更容易丢失上层，导致学习者将具体实例原封不动地记忆，以后只能解决和实例一模一样的情况，无法泛化新情况。
自上学习更容易丢失下层,导致学习者所学的抽象概念变为“空中楼阁”,也就是:没有任何现实现象能触发所学概念,只有考试和交流才会触发,因此无法解决实际问题。
一个直角¶
先来看三个自下学习丢失上层的例子。
我们知道，小孩子的思维更偏向于具象。当他们听到实例时，更容易丢失上层，将实例原封不动地记忆。
网上有个视频很典型。
老师在课堂上说：“锐角和钝角有很多种，直角只有一种。”说完指了指长方形的左上角，作为一个例子。
回家后，妈妈问孩子：“长方形的直角在哪儿？”
孩子毫不犹豫地指着长方形的左上角。
妈妈把长方形旋转了 \(90^{\circ}\) ，问孩子现在直角在哪儿，孩子还是指左上角。
就这样，四个角轮流变成“左上角”，妈妈都用铅笔标记了，但最后转回原位时，孩子仍坚持只有左上角是直角，其他都不是。
这个孩子就是把长方形的左上角这个老师举的例子，当成具体对象原封不动地记忆了。
随例跑偏¶
初 / 高中课堂上的学生在听讲时，也可能会完全被例子带偏，忘了老师要讲的共性规律是什么。
仅懂范例¶
还有，学习写小说、写论文时，教程中的范例一般都很长，学习者也容易仅关注范例本身，而没去理解范例背后的共性，导致出现本章开篇所说的第一个困境，即：案例分析全都看懂了，可下笔写新内容时，连一丁点儿头绪都没有（若理解了共性，可能会有头绪）。
丢-概¶
上层丢失和以偏概全很像，区别在于：以偏概全起码在试图泛化，而上层丢失指的是丝毫不进行泛化，就把经验当成经验本身，而非建模的材料。不过，在实际应用中，不区分得这么精细也没关系。
知识没用¶
自上学习丢失下层的一个典型例子，就是大家学习了数学中的矩阵、向量等抽
象概念，可以应付考试，却没有在生活中应用过，感觉“学校教的知识没用”。
丧失验证¶
对于自上学习，在丢失下层的情况下，还会产生一个尤为严重的后果：失去验证自身理解的能力。
在学习新知识的过程中，我们需要依靠下层的实践结果来验证自己的理解。如果丢失下层，学习者就会丧失验证能力，陷入“抽象空转”。
叶公好龙¶
以政治课为例，很多学生能把各种政治术语、理论框架背得滚瓜烂熟，可真的遇到政治概念所指的具体现象时，却完全认不出来，哪怕具体现象已经证实了学生的理解有误，由于下层和上层完全被分割，学生依然觉得自己所渐构的上层没错，并重复着政治理论的原文。这属于校园版“叶公好龙”。
方式材料¶
学习完自下学习和自上学习的特性后，我们来复习一下两种学习方式对应的学习材料。
主干提要¶
- 按本书中的定义，自上学习可以创造新知识（存在自上创验学习）。
- 自上学习所学的知识，也有下层注。
- 数学知识主要通过自上学习来创造（靠逻辑证明）。
- 科学知识主要通过自下学习来创造（靠实验验证）。
- 应把围绕同一个知识的归纳和演绎进行比较，避免得出错误结论。
- 在普遍性上，自下学习易以偏概全且需反复验证，自上学习不易以偏概全且建模方向明确。
- 在理解性上，自下学习比自上学习更易理解，自上学习容易缺失对象。
- 在脱节性上, 自下学习易丢失上层, 自上学习易丢失下层, 进而丧失验证能力。
概念提要¶
◎ 自下学习 vs 仅用归纳的学习：自下学习可同时运用归纳和演绎。
◎ 自上学习 vs 仅用演绎的学习：自上学习可同时运用归纳和演绎。
◎ 自下学习 vs 基于直接经验的学习：自下学习无关经验是直接的还是间接的。
◎ 定理：运用公理和已知定理证明出的知识（自上创验学习得出的知识）。
◎ 公理：用于证明其他定理的前提知识（本身不被其他知识证明）。
◎ 定律: 由大量经验归纳和验证得来的普遍规律(自下创验学习所创造的知识)。