18 判别模型¶
判别模型用规则界定概念的适用对象，无须先枚举全部外延。输入范围可以有实际限制；判别实例与主动想出实例则是不同能力。
明确外延¶
想要明确知识的输入和输出，就必须把握概念的外延，因为空间对应着概念的外延，“明确输入空间和输出空间”也就等同于“明确输入和输出中每个概念的外延”。
怎么穷尽¶
不过，概念的外延往往含有未见的具体现象，甚至含有无穷的现象，如图 18-1 所示。要如何把握未见和无穷的现象呢？
图 18- 1
例如，光的反射定律的输入变量是入射光线、反射面，输出变量是反射光线的方向、反射角。然而，单就反射面这一个概念而言，我们无法见到所有可被归为“反射面”的具体现象，正如我们不可能见到考查光的反射定律的所有高考题一样，那要如何把握反射面的外延呢？
依靠判别¶
其实办法我们早就用过, 那就是抽象类化——通过渐构万能判别法 (判别模型), 将世间所有现象划分成两类。每当遇到一个新现象时, 都用判别模型来判别一下它是否属于这个概念注, 进而确定概念的外延。
描述模型¶
判别模型是我们在第 2 章便学过的内容，接下来本章将运用前面学到的输入和输出等数学概念，对其进行更精准的描述。
明确模型¶
不过，你可能察觉到一个潜在问题。我们要依靠判别模型才能明确一个知识的输入、输出，然而判别模型也可以被视为知识，也有输入、输出，那判别模型的输入、输出又要依靠什么来明确呢？
实际上，判别模型的输入、输出直接就能明确，并不需要用额外的模型来明确。这也是判别模型的独特之处。
绝对输入¶
因为判别模型的用途就是判别任意一个对象该被归为哪个概念，所以判别模型的输入空间就是{所有对象/现象}。不论哪个判别模型都是如此，所以就不需要额外的东西来明确判别模型的输入空间了。
我们将 {所有对象 / 现象} 称为 “判别模型的绝对输入空间”。在数学中，与之对应的概念是全集。
相对输入¶
原则上，一个概念的判别模型要能处理{所有现象}，但许多概念只会在某个特定领域中被使用，如图18-2所示。
图18-2
这使得在实际中，判别模型的输入空间可被偷懒地设为 {特定范畴下的所有现
象}。我们将其称为“判别模型的相对输入空间”。相对输入空间其实就是对象层。
但在渐构判别模型时，其输入空间就代表着该模型所能应对的范围注，将其设定在特定范围内，那么所学到的模型的应对范围也就被缩小了。
然而，这个“特定范畴”也不能过小，必须既有“A的具体对象”，又有“非A的具体对象”，不能仅有一个类别的具体对象，否则就没有渐构判别模型来进行判别的必要了。
整数领域¶
例如，原则上，偶数的判别模型的输入空间是 {所有对象}，应能判别任意一个东西是偶数还是非偶数——像是判别黄河是偶数还是非偶数，判别苹果是偶数还是非偶数，判别 3 是偶数还是非偶数。但由于偶数只在整数的范畴中被使用，使得偶数的判别模型的输入空间在实际应用中，常常被设为 {所有整数}，有时也会被设为外延大一些的范畴，如 {所有数}，但不能设得过小，不能是 {2, 4, 6} 这种仅有 “偶数的具体对象”、没有 “非偶数的具体对象” 的输入空间，否则所学到的模型就只能应对这 3 个情况，并且都是偶数，完全没有渐构这个模型的必要。
经济领域¶
又如，原则上，正外部性的判别模型的输入空间也是{所有对象}，要能判别黄河是正外部性还是非正外部性，接种疫苗是正外部性还是非正外部性，等等。但由于正外部性是经济学范畴下的概念，在实际应用中，其判别模型的输入空间常被设为{经济活动中的所有现象}，有时也会被设为外延大一些的范畴，如{活动中的所有现象}。
相对优势¶
采用相对输入空间的好处在于：可以不必每次都带着所有的具象对象去思考，可以节省渐构判别模型时所需的经验。
不过,判别模型真正的输入空间始终都是{所有现象},毕竟判别模型的别名叫“万能判别法”,必须能用于判别“万物”,被设为{特定范畴下的所有现象}只是一种临时的取巧。由于这样构造的判别模型仅有特定范畴下的判别能力,倘若遇到了所选范围之外的对象，就需要搭配运用其他判别模型，来实现判别“万物”的能力。
经济活动¶
如图 18-3 所示，在渐构正外部性的判别模型时，我们可以将它的输入空间设定为 {经济活动中的现象}。这样就不必带着苹果、偶数、黄河、给压岁钱等对象一起思考了。
图18-3
不过，我们仍要能判别给压岁钱这种对象属于正外部性还是非正外部性。这时就要搭配经济活动的判别模型来一起进行判别：由于给压岁钱不属于{经济活动中的现象}，所以即使它满足“导致其他主体获利，但获利者无须付出代价”的属性，也不属于正外部性。
二类输出¶
判别模型的输出空间同样不需要额外的模型来明确，因为判别模型的输出常量无非就是此概念或非此概念两个可能结果中的一个。判别模型的输出空间就是{此概念，非此概念}两个可能类别所组成的集合，如图18-4所示。
图18-4
偶数输出¶
例如，“偶数”的判别模型的输出空间就是{偶数，非偶数}——两个标签所组成的集合。
正外输出¶
又如，“正外部性”的判别模型的输出空间就是{正外部性，非正外部性}——两个标签所组成的集合。
概率输出¶
判别模型的输出也可以采用概率分布的形式注，也就是：设定一个多维向量作为输出，该向量的每个维度都是属于某个类别的概率。
若是二类判别模型，则输出向量的形态为：[属于 A 的概率，属于非 A 的概率]。
偶数概率¶
例如，“偶数”的判别模型的输出，可以是[偶数的概率，非偶数的概率]这个多维向量，以代表眼前现象属于不同类别的概率。
当向量取值是 \([100\%, 0\%]\) 时，代表属于偶数的概率为 \(100\%\) ，属于非偶数的概率为 \(0\%\) 。当向量取值是 \([30\%, 70\%]\) 时，代表属于偶数的概率为 \(30\%\) ，属于非偶数的概率为 \(70\%\) 。
直接写出¶
可见，对于任何一个概念，我们都能直接写出其判别模型的输入、输出，如图18-5所示。
◎ 输入空间：{所有对象}。
◎ 输出空间：{此概念，非此概念}。
◎ 映射关系：
- 如果某对象具备此概念的内涵，则归为此概念。
- 如果某对象不具备此概念的内涵，则归为非此概念。
图18-5
太极两仪¶
类化和判别模型，特别像中国古代哲学中的“太极生两仪”。
太极相当于全集，两仪（阴阳）相当于 A（正概念）和非 A（负概念）。太极属于我们无法直接认识的东西。想要让认识能力发挥作用，必须通过划分概念来创造概念世界。我们每次使用判别模型都会划分出两个概念，不断划分下去，最终构成了万物。
不过，这里只是说二者很像，无法确定这是不是“太极生两仪”这句话的本义。
多类输出¶
判别模型的输出空间一般来说由两个类别（正概念和负概念）构成，但在实际应用中也可以由两个以上的类别构成（如小、中、大）。我们将输出有两个类别的判别模型称为“二类判别模型”，将输出有两个以上类别的判别模型称为“多类判别模型”。
多个二类判别模型可以转换成一个多类判别模型，反之亦然。由于可以相互转换，所以后续本书只拿二类判别模型来讲解。
划分依据¶
注意，本书并不是根据成分来区分判别模型的，而是根据用途——当一个模型被用来从全集中划分正概念和负概念时，就被我们归为判别模型。
判模用途¶
因此，我们无法从成分上来判断一个模型是不是判别模型，只能从它的现实意义上来区分。
输入和输出作为数学概念，本身是没有现实意义的，其现实意义是我们赋予的。而在判别模型中，输入常量代表着归类前的现象，输出常量代表着划分出来的类（标签）。因此，在判别模型中，每个输入常量与其对应的输出常量之间，都具有一种现实意义上的“实例－类”关系（输入常量是输出常量的实例）。
“实例 - 类”关系是我们区分判别模型和其他模型的根本依据。
偶数判模¶
图18-6展示了偶数的判别模型。
图 18-6
其中，2（输入常量）对应偶数（输出常量），而2是偶数的一个实例。
同理，给压岁钱（输入常量）对应非偶数（输出常量），而给压岁钱是非偶数的一个实例。
每个输入常量与输出常量的对应关系都满足“实例－类”关系，所以它是一个判别模型。
暴毙¶
“从人到能否永生”所描述的模型就不是判别模型。因为在该模型中，赢政（输入常量）对应不能永生（输出常量），而嬴政并不是不能永生的实例，49岁暴毙才是不能永生的实例。
判别能力¶
接着，我们再来看看判别模型所具备的能力，它能做什么，不能做什么。
其实, 判别模型并不能让我们直接得到完整的外延, 我们只能在遇到一个对象时,用它判别属于哪个概念的外延。我们将这种能力称为 “判别能力”。
判别能力不同于具象能力注，并不能“由概念（标签）联想可被归为此概念的所有对象”。虽然在理论上我们可以把所有对象都给判别模型，再根据判别结果构造出概念的完整外延，但在实际应用中，我们不可能收集到所有对象，以致判别能力并不能用于凭空罗列概念的完整外延。
难举例子¶
正因如此，我们可以观察到一种现象：某些学霸在遇到具体问题时，能判断这个问题该用什么概念的相关公式来解决。但若反过来问，“当前这个概念的相关公式”可以用来解决“哪些具体问题”，他们往往很难想出多少例子。这正是因为在解决具体问题时，运用的是判别能力，而举例子时，需要的是具象能力。
引出联结¶
用数学概念描述完判别模型后，我们再来看看另一种模型的数学描述。
主干提要¶
- 明确输入、输出意味着明确输入和输出中每个概念的外延。
- 知识的输入、输出通常需要用判别模型来明确。
- 判别模型的输入、输出不需要用其他判别模型来明确，因为可以直接写出。
- 在实际中，常用判别模型的标准输入来节省建模所需经验。
- 判别模型可视为一个概念外延（万物）到另一个概念外延（二类）的映射。
- 多个二类判别模型可以转换成一个多类判别模型。
- 只能从作用上区分判别模型和其他模型。
- 判别模型只有判别能力，没有联想能力。
概念提要¶
◎ 判别模型绝对输入空间：所有现象组成的集合。
◎ 判别模型相对输入空间：特定范畴的所有现象组成的集合。
◎ 判别模型二类输出空间：正概念和负概念两个类别组成的集合。
◎ 判别模型多类输出空间：多个类别组成的集合。
◎ 判别模型概率输出变量：一个代表所有类别的概率分布的向量。
◎ 判别模型用途：对现象进行类别划分的模型。
◎ 判别能力：给定一个现象，对其进行概念判别的能力。
◎ 具象能力：给定一个概念，联想此概念的具体实例的能力。